21 Гипергеометрическое распределение

Контент

Простейшая функция плотности вероятности - гипергеометрическая. Это самый простой, потому что он создается путем объединения наших знаний о вероятностях из диаграмм Венна, правил сложения и умножения и комбинаторной формулы счета.

Чтобы найти количество способов получить 2 туза из четырех в колоде, мы вычислили:

И если бы нам было все равно, что еще у нас в руке для трех других карт, мы бы вычислили:

Собирая все это вместе, мы можем вычислить вероятность выпадения ровно двух тузов в 5-карточной покерной руке как:

На самом деле это решение представляет собой просто распределение вероятностей, известное как гипергеометрическое. Обобщенная формула:

где x = интересующее нас число из группы с объектами A.

h (x) - вероятность x успехов в n попытках, когда A успешных (в данном случае тузов) попадает в совокупность, содержащую N элементов. Гипергеометрическое распределение является примером дискретного распределения вероятностей, поскольку нет возможности частичного успеха, то есть не может быть покерных рук с 2 1/2 тузами. Другими словами, дискретная случайная величина должна быть целым или считающимся числом. Это распределение вероятностей работает в тех случаях, когда вероятность успеха меняется с каждым розыгрышем. Другими словами, события НЕ независимы. При использовании колоды карт мы отбираем образцы БЕЗ замены. Если мы положим каждую карту обратно после того, как она была нарисована, тогда гипергеометрическое распределение будет несоответствующим Pdf.

Чтобы гипергеометрия работала,

  1. совокупность должна быть разделена на две и только две независимые подмножества (в нашем примере тузы и не тузы). Случайная величина X = количество предметов из интересующей группы.
  2. Вероятность успеха эксперимента должна изменяться с каждым экспериментом (тот факт, что карты не заменяются после розыгрыша в нашем примере, делает это верным в данном случае). Другими словами, вы берете сэмпл без замены, и поэтому каждый пикировщик не является независимым.
  3. случайная величина должна быть дискретной, а не непрерывной.

Конфеты содержат 30 мармеладов и 20 мармеладных конфет. Случайно выбираются десять конфет. Какова вероятность того, что 5 из 10 - мармеладки? Две группы - это мармеладки и мармеладки. Так как вопрос о вероятности задает вопрос о вероятности выбора мармеладов, группа, представляющая интерес (первая группа А в формуле), - это мармеладки. Размер интересующей группы (первая группа) - 30. Размер второй группы - 20. Размер образца - 10 (мармелад или мармелад). Пусть X = количество леденцов в выборке из 10. X принимает значения x.= 0, 1, 2,…, 10. а. Какое утверждение о вероятности написано математически? б. Какова гипергеометрическая функция плотности вероятности, выписанная для решения этой задачи? c. Каков ответ на вопрос «Какова вероятность того, что вы вытащите 5 жевательных конфет из 10 кусочков блюда?»

В сумке есть плитки с буквами. Сорок четыре плитки - гласные, а 56 - согласные. Случайно выбираются семь плиток. Вы хотите знать вероятность того, что четыре из семи плиток будут гласными. Какова группа интересов, размер группы интересов и размер выборки?

Интересной группой являются плитки с гласными буквами. Размер интересующей группы - 44 человека. Размер выборки - семь человек.

Обзор главы

Комбинаторная формула может предоставить количество уникальных подмножеств размера x, которые могут быть созданы из n уникальных объектов, чтобы помочь нам вычислить вероятности. Комбинаторная формула:

Гипергеометрический эксперимент - это статистический эксперимент со следующими свойствами:

  1. Вы берете образцы из двух групп.
  2. Вас интересует группа интересов, называемая первой группой.
  3. Вы пробу без замены из объединенных групп.
  4. Каждый пикировщик не является независимым, поскольку выборка без замены.

Результаты гипергеометрического эксперимента соответствуют гипергеометрическому распределению вероятностей. Случайная величина X = количество предметов из интересующей группы. .

Формула Обзор

Используйте следующую информацию, чтобы ответить на следующие пять упражнений: Предположим, что группа студентов, изучающих статистику, разделена на две группы: специальности, связанные с бизнесом, и со специальностями, не связанными с бизнесом. В группе 16 бизнес-специальностей и семь некоммерческих компаний. Произведена случайная выборка из девяти студентов. Нас интересует количество бизнес-специальностей в выборке.

В словах, определим случайную величину X .

X = количество крупных компаний в выборке.

Какие значения принимает X ?

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

Группа студентов боевых искусств планирует принять участие в предстоящей демонстрации. Шесть изучают тхэквондо; семеро изучают Шотокан Каратэ. Предположим, что восемь студентов случайным образом выбраны для участия в первой демонстрации. Нас интересует количество учеников Шотокан Каратэ на этой первой демонстрации.

  1. В словах, определим случайную величину X .
  2. Перечислите значения, которые может принимать X.
  3. Сколько учеников Шотокан Каратэ мы ожидаем увидеть на этой первой демонстрации?

В одном из своих весенних каталогов LL Bean® рекламировала обувь на 29 из 192 страниц каталога. Предположим, мы произвольно просматриваем 20 страниц. Нас интересует количество страниц, на которых рекламируется обувь. Каждую страницу можно выбрать не более одного раза.

  1. В словах, определим случайную величину X .
  2. Перечислите значения, которые может принимать X.
  3. На скольких страницах вы планируете разместить на них рекламу обуви?
  4. Рассчитайте стандартное отклонение.
  1. X = количество страниц, рекламирующих обувь
  2. 0, 1, 2, 3,…, 20
  3. 3,03
  4. 1,5197

Предположим, что формируется целевая группа по технологиям для изучения осведомленности преподавателей о технологиях. Предположим, что десять человек будут случайным образом выбраны в комитет из группы из 28 добровольцев, 20 из которых обладают техническими знаниями и восемь - нет. Нас интересует количество тех, кто невладеет техническими знаниями в комитете .

  1. В словах, определим случайную величину X .
  2. Перечислите значения, которые может принимать X.
  3. Сколько инструкторов вы ожидаете в комитете, которые необладают техническими знаниями?
  4. Найдите вероятность того, что по крайней мере пять членов комитета не обладают техническими знаниями.
  5. Найдите вероятность того, что максимум трое из членов комитета не обладают техническими навыками.

Предположим, что девять спортсменов из Массачусетса появятся на благотворительной акции. Эти девять человек выбираются случайным образом из восьми добровольцев из Boston Celtics и четырех добровольцев из New England Patriots. Нас интересует количество отобранных Патриотов.

  1. В словах, определим случайную величину X .
  2. Перечислите значения, которые может принимать X.
  3. Вы выбираете девять спортсменов с заменой или без?
  1. X = количество выбранных патриотов
  2. 0, 1, 2, 3, 4
  3. Без замены

Рука бриджа определяется как 13 карт, выбранных случайным образом и без замены из колоды из 52 карт. В стандартной колоде карт по 13 карт каждой масти: червы, пики, трефы и бубны. Какова вероятность получить руку, в которой нет сердца?

  1. Какая группа интересов?
  2. Сколько человек входит в группу по интересам?
  3. Сколько человек в другой группе?
  4. Пусть X = _________. Какие значения принимает X ?
  5. Вопрос вероятности - P (_______).
  6. Найдите рассматриваемую вероятность.
  7. Найти (I) , средний и (II) , стандартное отклонение X .

Глоссарий

  1. Вы берете образцы из двух групп.
  2. Вас интересует группа интересов, называемая первой группой.
  3. Вы пробу без замены из объединенных групп.
  4. Каждый пикировщик не является независимым, поскольку выборка без замены.
  1. Фиксированное количество испытаний.
  2. Вероятность успеха от испытания к делу не одинакова.

Мы выбираем из двух групп предметов, когда нас интересует только одна группа. X определяется как количество успехов из общего количества выбранных предметов.